El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en elsiglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
miércoles, 2 de septiembre de 2009
Teorema de Pitagoras
El teorema de Pitágoras es de gran importancia para hacer análisis geométrico en diferentes áreas del conocimiento. Por esto la comprensión y destreza en su manejo es de vital importancia, particularmente en el estudio de los fenómenos físicos.
Recuerda que en un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos y al lado opuesto al ángulo recto se le denomina hipotenusa.
El teroema de Pitágoras enuncia así: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. La figura 2 ilustra claramente este teorema. Figura 2 (Tomada de : IES) Observa detenidamente la siguiente animación: (Animación tomada de : T.P)
Aplicaciones en la vida cotidiana del Teorema de Pitagoras
El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Por ejemplo:
El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.
Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra.
Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.
En general, el Teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar longitudes en donde intervienentriángulos rectángulos.
Ejemplos Resueltos
El cuadrado de un cateto de un triángulo rectángulo es 16, y el otro cateto mide 3, ¿ Cuánto mide la hipotenusa? Operación:
1 H2 = C12 + C12 C12 = 16
C12 = 3 = 32 = 9
2 H2 = 16 + 9 = 25
3 H2 = 25 H = 5
Rta: La hipotenusa mide 5
2
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 5, y uno de sus catetos es 3, ¿ Cuánto mide el cateto restante? Operación:
1 (5)2 = (3)2 + C22 4 C22 = 16
2 25 = 9 + C22 5 C22 = 16
3 25 - 9 = C22 6 C2 = 4
Rta: El cateto restante mide 4
3
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 7,071, y los catetos tienen potencias exactas, ¿ Cuanto miden los catetos? Operación.
1 7,0712 = 50.000
2 C12 = 5 3 52 = 5x5 = 25 4 25+25=50
C22 = 5 52 = 5x5 = 25
Rta: Los catetos miden 5
Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos mien respectivamente 3.0 m y 5.0 m.
Solución:
Tomemos como base la figura 2.
Ejemplo:
El lado de un cuadrado vale 10.0 m . Calcular el valor de su diagonal
Solución:
La diagonal d del cuadrado corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene como catetos dos lados del cuadrado. (figura 3).
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Demostraciones
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y lascuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Notas importantes
Notas
- Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.
- En primer lugar se ha cuadruplicado el área del cuadrado inicial, que aumentó de cuatro a dieciséis unidades cuadradas, para después obtener el resultado buscado
- Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico Hipaso de Metaponto lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.
- Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290 de nuestra era, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.
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